排列組合抽簽原理情況次品有多少(概率論抽簽原理)
一：16個國傢足球隊中有中日韓3個亞洲球隊，抽簽分成甲乙丙丁4個小組(每組。。。
二：排列組合問題!
在介紹排列組合方法之前 我們先來瞭解下根本的運算公式!
C5取3＝（5×4×3）/（3×2×1） C6取2＝（6×5）/（2×1）
通過這2個例子 看出
CM取N 公式 是種子數M開始與自己一身連續的N個自然數的降序乘積做為分子。 以取值N的階層作為分母
P53＝5×4×3 P66＝6×5×4×3×2×1
通過這2個例子
PMN＝從M開始與自己一身連續N個自然數的降序乘積 當N＝M時 即M的階層
排列、組合的根本是研究“從n個不同的元素中，任取m (m≤n)個元素，有序和無序擺放擺列的各式可能性”。區別排列與組合的標志是“有序”與“無序”。
解答排列、組合問題的思維模式有二：
其一是看問題是有序的還是無序的?有序用“排列”，無序用“組合”；
其二是看問題需要分類還是需要分步?分類用“加法”，分步用“乘法”。
分 類：“做一件事，完成它真的可以有n類方法”，這是對完成這檔子事的所有辦法的一個分類。分類時，first of all要依據問題的特征確定一個適合於它的分類標準，緊接著在這個 標準下進行分類；其次，分類時須留意滿足兩條基本原則：①完成這檔子事的任何一種方法必須屬於某一類；②分別屬於不同兩類的兩種方法是不一樣的方式方法。
分步：“做一件事，完成它需要分成n個步驟”，這是說完成這檔子事的任何一種方法，都要分成n個步驟。分步時，first of all要依據問題的特征，確定一個可行的分步標準；其次，步驟的設置要滿足完成這檔子事必須並且僅需連續完成這n個步驟後，這檔子事才算最終完成。
兩 個原理的不同在於一個和分類有關，一個與分步有關。假如完成一件事有n類辦法，這n類辦法彼此之間是互相單獨的，不管那一類辦法中的那一種方法皆能獨立完 成這檔子事，求完成這檔子事的方式方法種數，就用加法原理；假如完成一件事需要分成n個步驟，缺一不可，即需要依次完成所有的步驟，才能完成這檔子事，而完成每一個 步驟各有若幹種不一樣的方式方法，求完成這檔子事的方式方法種類就用乘法原理。
在解決排列與組合的應用題時應註意和提防以下幾點：
1．有限制條件的排列問題常見命題形式：
“在”與“不在”
“鄰”與“不鄰”
在解決問題時要掌握根本的解題思想和方法：
⑴“相鄰”問題在解題時常用“合並元素法”，可把兩個以上的元素當做一個元素來看，這是處理相鄰最常用的方式方法。
⑵“不鄰”問題在解題時最常用的是“插空排列法”。
⑶“在”與“不在”問題，往往涉及特殊元素或特殊位置，一般是先排列特殊元素或特殊位置。
⑷元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制，等排列完畢後，利用規定順序的實情求出結果。
2．有限制條件的組合問題，常常見到的命題形式：
“含”與“不含”
“至少”與“至多”
在解題時常用的方式方法有“直接法”或“間接法”。
3． 在處理排列、組合綜合題時，通過剖析條件按元素的性質分類，做到不重、不漏，按事件的發生過程分步，正確地交替使用兩個原理，這是解決排列、組合問題的最根本的，也是最要緊的思想方法。
提供10道習題供大傢練習
1。三邊長均為整數，且最大邊長為11的三角形的個數為（ C ）
(A)25個 (B)26個 (C)36個 (D)37個
------------------------------------------------------
【解析】
依據三角形邊的原理 兩邊之和大於第3邊，兩邊之差小於第3邊
可見最大的邊是11
則兩外兩邊之和不能超過22 由於當三邊都為11時 是兩邊之和最大的時刻
所以我們以一條邊的長度開始剖析
假如為11，則另外一個邊的長度是11，10，9，8，7，6，。1
假如為10 則另外一個邊的長度是10，9，8、2，
（不能為1 要不然兩者之和會小於11，不能為11，由於第1種情況蘊含瞭11，10的組合）
假如為9 則另外一個邊的長度是 9，8，7，。3
（理由同上 ，可見規律出現）
規律出現 總數是11＋9＋7＋。1＝（1＋11）×6÷2＝36
2。
（一）將4封信投入3個郵筒，有多少種不一樣的投法?
------------------------------------------------------------
【解析】 每封信皆有3個選擇。信與信之間是分步關系。打比方說說我先放第一封信，有3種可能性。接著再放第二封，亦有3種可能性，直到第四封， 所以分步屬於乘法原則 即3×3×3×3＝3^4
（二）3位旅客，到4個旅館住宿，有多少種不一樣的住宿方法?
-------------------------------------------------------------
【解析】跟上述情況類似 對於每個旅客我們皆有4種選擇。彼此之間選擇不要緊 不夠成分類關系。屬於分步關系。如：我們先安排第1個旅客是4種，再安排第二個旅客是4種選擇。知道最後一個旅客也是4種可能。依據分步原則屬於乘法關系 即 4×4×4＝4^3
（三）8本不同的書，任選3本分給3個同學，每人一本，有多少種不一樣的分法?
-------------------------------------------------------------
【解析】分步來做
第1步：我們先選出3本書 即多少種可能性 C8取3＝56種
第2步：分配給3個同學。 P33＝6種
這 裡稍微介紹一下為啥是P33 ，我們來看第1個同學可以有3種書選擇，選擇完成後，第二個同學就隻剩下2種選擇的情形，最後一個同學沒有選擇。即3×2×1 這是分步選擇符合乘法原則。最常常見到的例子就是 1，2，3，4四個數字可以組成多少4位數? 也是滿足如此的分步原則。 用P來計算是由於每個步驟之間有管束作用 即下一步的抉擇受到上一步的壓縮。
所以該題結果是56×6＝336
3。
七個同學排成一橫排照相。
（一）某甲不站在排頭也不可以在排尾的區別排法有多少種? （3600）
---------------------------------------------
【解析】
這個題目我們分2步完成
第1步： 先給甲排 應該排在中間的5個位置中的一個 即C5取1＝5
第2步： 剩下的6個人即滿足P原則 P66＝720
所以 總數是720×5＝3600
（二）某乙隻可以在排頭或排尾的區別排法有多少種? （1440）
-------------------------------------------------
【解析】
第1步：確定乙在哪個位置 排頭排尾選其一 C2取1＝2
第2步：剩下的6個人滿足P原則 P66＝720
則總數是 720×2＝1440
（三）甲不在排頭或排尾，同時乙不在中間的區別排法有多少種? （3120）
---------------------------------------------------
【解析】特殊情況先安排特殊
第1種情況：甲不在排頭排尾 而且不在中間的情形
去除3個位置 剩下4個位置供甲選擇 C4取1＝4， 剩下6個位置 先安中間位置 即除瞭甲乙2人，其他5人皆可以 即以5開始，剩下的5個位置滿足P原則 即5×P55＝5×120＝600 總數是4×600＝二十四00
第二種情況：甲不在排頭排尾， 甲排在中間位置
則 剩下的6個位置滿足P66＝720
由於是分類討論。所以最終的結果是兩種情況之和 即 二十四00＋720＝3120
（四）甲、乙必須相鄰的排法有多少種? （1440）
-----------------------------------------------
【解析】相鄰用捆綁原則 2人變一人，7個位置變成6個位置，即分步討論
第一： 選位置 C6取1＝6
第二： 選出來的2個位置對甲乙在排 即P22＝2
則安排甲乙符合情況的種數是2×6＝12
剩下的5個人即滿足P55的規律＝120
則 最終結果是 120×12＝1440
（五）甲必須在乙的左邊（不一定相鄰）的區別排法有多少種?（2520）
-------------------------------------------------------
【解析】
這個題目特別好，不管怎麼安排甲出此刻乙的左邊 和出此刻乙的右邊的概率是相同的。 因此我們不考慮左右問題 則總數是P77＝5040 ，依據左右概率相等的原則 則排在左邊的情形種數是5040÷2＝2520
4。用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的數。
（一）能組成多少個四位數? （300）
--------------------------------------------------------
【解析】 四位數 從高位開始到低位 高位特殊 不能排0。 則隻有5種可能性
接著下面3個位置滿足P53原則＝5×4×3＝60 即總數是 60×5＝300
（二）能組成多少個自然數? （1631）
---------------------------------------------------------
【解析】自然數是從個位數開始所有情況
分情況
1位數： C6取1＝6
2位數： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25
3位數： C5取3×P33＋C5取2×P22×2＝100
4位數： C5取4×P44＋C5取3×P33×3＝300
5位數： C5取5×P55＋C5取4×P44×4＝600
6位數： 5×P55＝5×120＝600
總數是1631
這裡解釋一下計算方式 打比方說說2位數： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25
先從不是0的5個數字中取2個排列 即C5取2×P22 還有一種情況是從不是0的5個數字中選一個和0搭配成2位數 即C5取1×P11 由於0不能作為最高位 所以最高位隻有1種可能
（三）能組成多少個六位奇數? （288）
---------------------------------------------------
【解析】高位不能為0 個位為奇數1，3，5 則 先考慮低位，再考慮高位 即 3×4×P44＝12×二十四＝288
（四）能組成多少個能被25整除的四位數? （21）
----------------------------------------------------
【解析】 能被25整除的4位數有2種可能
後2位是25： 3×3＝9
後2位是50： P42＝4×3＝12
共計9＋12＝21
（五）能組成多少個比201345大的數? （479）
------------------------------------------------
【解析】
從數字201345 這個6位數看 是最高位為2的最小6位數 因此我們看最高位大於等於2的6位數是多少?
4×P55＝4×120＝480 去掉 201345這個數 即比201345大的有480－1＝479
（六）求所有組成三位數的總和。 （32640）
---------------------------------------------
【解析】每個位置都來剖析一下
百位上的和：M1=100×P52(5+4+3+2+1)
十位上的和：M2=4×4×10(5+4+3+2+1)
個位上的和：M3=4×4(5+4+3+2+1)
總和 M＝M1+M2+M3=32640
5。生產某種產品100件，其中有2件是次品，此刻抽取5件進行檢查。
（一）“其中恰有兩件次品”的抽法有多少種? （152096）
【解析】 總之被抽查的5件中有3件合格的 ，其實就是從98件合格的取出來的
所以 即C2取2×C98取3＝152096
（二）“其中恰有一件次品”的抽法有多少種? （72二十四560）
【解析】同上述剖析，先從2件次品中挑1個次品，再從98件合格的產品中挑4個
C2取1×C98取4＝72二十四560
（三）“其中沒有一次品”的抽法有多少種? （67910864）
【解析】則即在98個合格的中抽取5個 C98取5＝67910864
（四）“其中最少有一件次品”的抽法有多少種? （7376656）
【解析】全部排列 緊接著去掉沒有一次品的排列情況 就是最少有1種的
C100取5－C98取5＝7376656
（五）“其中至多有一件次品”的抽法有多少種? （751354二十四）
【解析】所有的排列情況中去掉有2件次品的情形其實就是至多一件次品情況的
C100取5－C98取3＝751354二十四
6。從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要有甲型和乙型電視機各1臺，則不同的取法共有（ ）
(A)140種 (B)84種 (C)70種 (D)35種
--------------------------------------------------------
【解析】依據條件俺們是可以分2種情況
第1種情況：2臺甲＋1臺乙 即 C4取2×C5取1＝6×5＝30
第2種情況：1臺甲＋2臺乙 即 C4取1×C5取2＝4×10＝40
所以總數是 30＋40＝70種
7。在50件產品中有4件是次品，從中任抽5件，最少有3件是次品的抽法有__種。
-------------------------------------------------------
【解析】最少有3件 則說明是3件或4件
3件：C4取3×C46取2＝4140
4件：C4取4×C46取1＝46
共計是 4140＋46＝4186
8。有甲、乙、丙三項任務， 甲需2人承擔， 乙、丙各需1人承擔。從10人中選派4人承擔這三項任務， 不同的選法共有（ C ）
(A)1260種 (B)2025種 (C)2520種 (D)5040種
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解析】分步完成
第1步：先從10人中挑選4人的方式方法有：C10取4＝210
第2步：分配給甲乙並的工作是C4取2×C2取1×C1取1＝6×2×1＝12種情況
則依據分步原則 乘法關系 210×12＝2520
9。12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有__
C(4，12)C(4，8)C(4，4)
___種
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解析】每個路口都按次序考慮
第1個路口是C12取4
第2個路口是C8取4
第3個路口是C4取4
則結果是C12取4×C8取4×C4取4
可能到瞭這裡有人會講 三條不同的路不是需要P33嗎 其實也就是說並非這樣的 在我們從12人中任意抽取人數的時刻，其實也就是說將這幾個分類情況已經蘊含瞭對不同路的情形的蘊含。 若是再×P33 那麼是重復考慮瞭
假如這裡不考慮路口的區別 即都是相同路口 則情況又不一樣 由於我們在分配人數的時刻考慮瞭路口的區別。所以最後要去除這種可能情況 因此在上述結果的情形下要÷P33
10。在一張節目表中原有8個節目，若保持原有節目的相對順序不變，再增添三個節目，求共有多少種安排方法? 990
【解析】
這是排列組合的一種方法 叫做2次插空法
直接解答較為麻煩，故可先用一個節目去插9個空位，有P(9，1)種方法；再用另一個節目去插10個空位，有P(10，1)種方法；用最後一個節目去插11個空位，有P(11，1)方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為P(9，1)×P(10，1)×P(11，1)=990種。
另先在11個位置中排上新添的三個節目有P(11，3)種，再在餘下的8個位置補上原有的8個節目，僅有一解，所以所有方法有P311×1=990種。
三：關於排列與組合的問題 A與C
1，放回。6/10*4/10=0。二十四
2，不放回。6/10*4/9=0。27
另外，概率不是A，亦不是C，A，C預示的是排列或者組合的個數，亦即一共有多少種可能，這樣的結果是一個整數，而概率是一個0到1之間的小數。二者之間的聯系是：前者是後者中可能數的個數除以總個數。understand？
四：抽簽中的概率問題
若第一個人未抽中第2個人是從5根簽中（抽取上上簽），已排除一根
若第一個人抽中第2個人概率為0
兩個問題不相同
五：概率論中的抽簽問題
假如抽簽的規那麼是任何人抽完之後再放回去，讓下一個人抽，這便是一個平均問題。每次抽簽與前一次結果無關，其概率是1/n。（類似於扔硬幣）
假如抽完不放回去，那結果就不一樣瞭。這時候的概率是和前一次的結果相關的。
第1個人抽到的概率是1/n+1/(n-2)+……
第2個人抽到的概率是1/(n-1)+1/(n-3)+……
此時與n的數值有關。
舉個最簡單容易的例子，當n=1時，第1個人抽到的概率是1，第2個人抽到的概率是0
六：古典概率從實際生活之中有哪些應用實際案例
抽簽問題、方案決策問題、購物問題、線路設計問題。許多方面皆可以應用得到